Pengukuran Penyimpangan (Range-Deviasi-Varian)

Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Range

Range adalah selisih antara nilai terbesar ( nilai maksimum ) dengan nilai terkecil ( nilai minimum ) pada suatu gugus data. Range bukan merupakan ukuran penyebaran data yang baik karena ukuran ini hanya memperhatikan kedua nilai ekstrem dan tidak mengatakan apa-apa mengenai sebaran bilangan-bilangan yang ada diantara kedua nilai ekstrem tersebut.

Range = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

Varian dan Standar Deviasi

Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akarkuadrat dari varian.

Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.

Penghitungan

Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.

Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.

Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.

Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).

Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel.

Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka nsebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi : 

Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku).

Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :

Rumus varian :

Rumus standar deviasi (simpangan baku) :

Contoh Penghitungan

Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 

172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.

Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.

Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.

Keterangan:

s² = varian

s = standar deviasi (simpangan baku)

xi = nilai x ke-i

 = rata-rata

n = ukuran sampel

Kuartil, Nilai rata-rata ukur dan Harmonik

Nilai Rata-rata Ukur dan Harmonik

1.        Nilai Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
a.  Pengertian  Nilai Rata-rata Ukur
Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.
Rata rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.
b.   Cara menghitung nilai rata-rata ukur
Rata rata ukur G dari kelompok data X_i , X₂ , X₃ , …Xn didefinisikan sebagai berikut
·         Untuk Data Tidak Berkelompok
                        n
G =    √ ( X₁, X₂, X₃….X_n )                Untuk Data yang Kecil
                                     ( ∑ log X )
G = antilog ( ------------------- ) Untuk Data yang Besar
                                      ∑ n
·         Untuk Data Berkelompok
                                    ( ∑ f . log X )
G = antilog ( ------------------- )
                                                ∑  f
Contoh: Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN)  data 2, 4, 8
Jawab :
            n = 3
Log 2 = 0,3010
Log 4 = 0,6021
Log 8 = 0,9031
Maka Log 2 + Log 4 + Log 8 = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062
                                                 ( ∑ log X )
G = antilog ( ------------------- )            
                                                    ∑ n
                                               ( Log 2 + Log 4 + Log 8 )
G = antilog ( ------------------------------------- )             
                                                                3
                                                 ( 1,8062 )
G = antilog ( ------------------ )  =  antilog 0,6021 = 4  
                                                       3
2. Nilai rata-rata  Harmonik (harmonic mean)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
·         Untuk Data Tidak Berkelompok
                                      n
Rh  =  ----------
                                     ∑ (1 / x )
·         Untuk Data Berkelompok
                                      f
            Rh  =  --------
                                    ∑ ( f / x )
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
Contoh:
Nyonya Lukman melakukan perjalanan dari Bandung ke Sidoarjo pulang pergi,     Dalam perjalanan tersebut naik kereta api. Bertolak dari Bandung ke Sidoarjo berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang mampir dulu ke yagyakarta dengan kecepatan 70 km/jam, kemudian hari berikutnya dilanjutkan lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam, berapakah kecepatan rata rata perjalan nyonya Lukman
Jawab :
Kecepatan Pertama X1 = 90 km / jam
Kecepatan Kedua (X2) = 70 km / jam
Kecepatan Kedua (X2) = 80 km / jam
n = 3
                             n                                3
Rh  =  ------------ = ---------------------------------------------
                      ∑ (1 / x )       ( 1 / 90 ) + ( 1 / 70 ) + ( 1 / 80 )
                             n                                                      3
Rh  =  ------------ = ------------------------------------------------------------------------
                      ∑ (1 / x )    ( 0.011 km / jam) + ( 1.0143 km / jam) + ( 0.01254 km/jam
   
Rh  =   3 : 0,0379 km / jam = 79.155 km/jam

KUARTIL

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut dengan kuartil.  Simbol kuartil adalah K.  Dengan demikian, ada tiga buah kuartil, yaitu K1, K2, dan K3.  Pemberian nama dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil.  Untuk menentukan nilai kuartil, caranya adalah sebagai berikut.

1. Susun data menurut urutan nilainya, dari terkecil ke terbesar

2. Tentukan letak kuartil

3. Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i, diberi lambang Ki, ditentukan dengan rumus sbb.

Contoh

Sampel data

27  30  28  29  22  25  24  23  24  25   27  31  21  26

Setelah disusun,

21  22  23  24  24  25  25  26  27  27  28   29  30  31

yaitu antara data ke-3 dengan data ke-4 dan 0,75 unit jauhnya dari data ke-3

Dengan demikian,

nilai K1 = data ke-3 + 0,75(data ke-4  -  data ke-3)

       K1 = 23 + 0,75(24-23) = 23,75

yaitu antara data ke-7 dengan data ke-8 dan 0,5 unit jauhnya dari data ke-7

Dengan demikian,

nilai K2 = data ke-7 + 0,5(data ke-8  -  data ke-7)

       K2 = 25 + 0,5(26-25) = 25,5

yaitu antara data ke-11 dengan data ke-12 dan 0,25 unit jauhnya dari data ke-11

Dengan demikian,

nilai K3 = data ke-11 + 0,25(data ke-12  -  data ke-11)

       K3 = 28 + 0,25(29-28) = 28,25

CONTOH-CONTOH KUESIONER

CONTOH- CONTOH KUESIONER MENGGUNAKAN SKALA

1. 1.      SKALA LIKERT

Setiap butir terdiri atas satu pernyataan, boleh berbentuk positif, dan boleh juga berbentuk negatif.

            Untuk setiap pernyataan, responden memilih salah satu tanggapan berupa

            SS         = sangat setuju

           S            = setuju

            R           = ragu

           TS          = tidak setuju

         STS          = sangat tidak setuju

            Tanggapan responden dikodekan ke dalam bilangan dari 1 sampai 5

Contoh

            Kuesioner sikap skala Likert tentang Pendidikan

            Tuliskan A, B, C, D, atau E, untuik

            A = sangat setuju

            B = setuju

            C = ragu

            D = tidak setuju

            E = sangat tidak setuju

           

[dikutib dari University of Minnesota]

            ______            orang akan belajar lebih banyak me-

                             lalui bekerja empat tahun daripada ber-

                             sekolah di SMU/SMA

            ______            lebih banyak pendidikan orang, lebih

                             banyak ia menikmati hidup

            _________      pendidikan membantu orang untuk

                                   menggunakan waktu senggangnya

                                   bagi keuntungan yang lebih besar

            _________      bagi seseorang, pendidikan yang baik

                                   adalah kesenangan yang besar di luar

                                   pekerjaannya

            _________      hanya mata pelajaran membaca, menu-

                                   lis, dan berhitung yang perlu diajarkan

                                   di sekolah dengan menggunakan uang

                                   rakyat

            _________      pada saat ini, pendidikan tidak memban-

                                   tu orang dalam pemerolehan pekerjaan

            _________      kebanyakan orang muda memperoleh

                                   terlalu banyak pendidikan.

1. 2.      SKALA THURSTONE

Alat ukur terdiri atas sejumlah butir

–        Setiap butir memiliki nilai butir yang terletak di antara 1 sampai 11 serta memiliki kualitas butir melalui jarak interkuartil.

            Perangkat kuesioner disusun dengan memilih butir agar jarak di antara nilai butir adalah sama atau kira-kira sama (level interval)

• Mis. 1,7   2,2    2,7   3,2   …

            Nilai butir tidak diketahui oleh responden

            Responden hanya mencentang butir yang disetujuinya (dan membiarkan butir yang tidak disetujuinya)

Contoh

            Kuesioner sikap skala Thurstone tentang kelas terbuka

            [dikutib dari Mueller]

            Berika tanda centang pada butir yang isinya disetujui

            ________        ruang kelas terbuka menjurus ke kena-

                                   kalan anak

            ________        saya tidak mau anak saya masuk ke

                                   sekolah dengan ruang kelas terbuka

            ________        anak yang belajar di ruang kelas terbuka

                                   menjadi lebih kreatif

            ________        ruang kelas terbuka terlalu tidak berdisi-

                                   plin untuk mencapai hasil belajar yang

                                   maksimum

1. 3.      SKALA SEMANTIK DIFERENSIAL

Memilih satu letak di antara dua hal yang berlawanan.

            Contoh

            Pada pelajaran psikometrika, beri tanda centang di tempat yang sesuai dengan perasaan anda

            Sulit            ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___  Mudah

                                 1     2     3    4     5     6     7

            Menarik      ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___  Menjemukan

                                 1     2     3    4     5     6     7

            Penting       ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___  Sambilan

                                 1     2     3    4     5     6     7

            Sedikit        ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___   Banyak

                                 1     2     3    4     5     6     7

            Teoretis      ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___   Praktis

                                 1     2     3    4     5     6     7

            Cepat         ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___   Lambat

                                 1     2     3     4    5     6     7

Distribusi Frekuensi

A. Pengertian

Distribusi Frekuensi adalah penyusunanan data kedalam kelas-kelas tertentu dimana setiap individu/item hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu penelitian juga biasanya akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data Berdasarkan Ciri-ciri penting dari sejumlah data ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam setiap kelas. Tujuan distribusi frekuensi ini yaitu :

1.      Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi.

1.      Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.

Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua :
1.      Distribusi Frekuensi Numerikal
Distribusi Frekuensi numerikal adalah pengelompokan data berdasarkan angka-angka dan biasanya disajikan dengan grafik histogram.
2.      Distribusi Frtekuensi Kategorikal / Kategoris
Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya distribusi frekuensi disajikan dengan grafik batang, lingkaran, dan gambar.

1 BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI
1.      Class (Kelas) adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas (Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi states class limit dan class boundaries (tepi kelas).
a.       stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah kelas) dan upper class limit (batas atas kelas).
b.      class boundaries (tepi kelas) adalah batas kelas yang sebenarnya, terdiri dari lower class boundary (batas bawah kelas yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang sebenarnya).
2.      Class interval / panjang kelas/lebar kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
3.      Mid point / class mark / titik tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau tepi kelasnya.

2        LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI
1.  Urutkan data terlebih dahulu
2. Menentukan Range (Jangkauan) : didapat dari nilai yang terbesar dikurangi nilai yang terkecil.
                 R = X_man – X _min
3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus Sturgess. K = 1 + 3,3 log N dimana K = Banyaknya kelas dan N = Jumlah Data.
4. Menentukan Interval Kelas : I = R/K
5.  Menentukan batas kelas :
                 Tbk = Bbk – 0,5
                 Tak = Bak + 0,5
     Panjang interval kelas = Tak – Tbk
     Keterangan :    Tbk = tepi bawah kelas
                             Tak = tepi atas kelas
                             Bbk = batas bawah kelas
                             Bak = batas atas kelas
6.  Menentukan titik tengahnya.
7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem turus/tally.
8. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally atau Turus.

3 JENIS-JENIS DISTRIBUSI FREKUENSI
1.     Distribusi frekuensi kumulatif
        Distribusi frekuensi kumulatif adalah suatu daftar yang memuat frekuensi -     frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya observasi yang ada diatas atau dibawah suatu nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif terdiri dari :
·         Distribusi kumulatif kurang dari (dari atas)
Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
·         Distribusi kumulatif lebih dari (dari bawah)
Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebihi besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing ionterval kelasnya.
·         Distribusi frekuensi kumulatif relatif
Adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan presentasi.
2.     Distribusi frekuensi relatif
        Distribusi frekuensi relatif adalah perbandingan daripada frekuensi masing -masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen.

4   MENYAJIKAN DATA DENGAN GRAFIK
Grafik adalah merupakan visualisasi table yang berupa angka-angka dapat disajikan / ditampilkan ke dalam bentuk gambar. Selain menyajikan data dengan table, ada juga penyajian data dalam bentuk grafik yang bertujuan untuk memberikan gambaran sebaran  data   dalam  bentuk  visualisasi. Ada  beberapa macam  grafik yang  biasa digunakan untuk memberikan gambaran data, yakni: grafik garis, grafik balok/batang, grafik lingkaran, dan grafik pictogram (gambar).
            A. Grafik Garis
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis juga secara umum dibagi menjadi dua, yaitu grafik garis tunggal (single line chart) dan  grafik garis berganda (multiple line chart) yang terdiri dari beberapa garis. Grafik garis, baik yang tunggal maupun yang berganda sangat berguna untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan.

-          Contoh grafik garis tunggal (single line chart) :



            
            B. GRAFIK BATANG/ BALOK.
Grafik batang mungkin yang paling sederhana daripada semua grafik, grafik batang paling bermanfaat bilamana sejumlah nilai yang akan di bandingkan relatif sedikit, pada lazimnya grafik ini dibuat dengan menggunakan batang sebagai gambaran kelompok data secara vertikal dan horizontal.tinggi atau panjang batang melukiskan ukuran besarnya presentase data yang di wakilinya. Grafik batang/balok (Bar Chart) secara umum terdiri dari dua bagian, yaitu single bar chart yang hanya terdiri dari satu batang saja danmultiple bar chart yang terdiri dari beberapa batang. Grafik batang ini baik yang single maupun yang multiple sangat berguna untuk menggambarkan perbandingan suatu kegiatan.
-          Contoh grafik batang/balok single bar chart :
Distribusi Frekuensi Data Nilai UTS Statistika  Deskriptif

Interval Kelas	Titik Tengah	Frekuensi
70-74	72	1
65-69	67	3
60-64	62	4
55-59	57	9
50-54	52	9
45-49	47	11
40-44	42	5
35-39	37	4
30-34	32	2
Jumlah		48

Dari tabel diatas diperoleh grafik batang (single bar chart) :




Contoh Grafik batang (multiple bar chart)





C. GRAFIK LINGKARAN
Grafik lingkaran adalah suatu grafik yang berguna untuk membuat perbandingan dari suatu data yang dibuat dalam bentuk lingkaran. Grafik lingkaran juga secara umum terbagi menjadi dua, yaitu single pie chart yang terdiri dari satu lingkaran saja dan multiple chart yang terdiri dari beberapa lingkaran. Grafik jenis ini sangat berguna untuk menggambarkan suatu kegiatan  berdasarkan nilai-nilai karakteristik satu dengan yang lain dan dengan keseluruhan.
            Contoh grafik lingkaran tunggal (single pie chart) :