Probabilitas (Peluang)

1. Peluang Suatu Kejadian

a. Kejadian Sederhana

Dalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartu hitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu tersebut.

Seperangkat kartu remi. (a) Kartu hati yang berwarna merah. (b) Kartu wajik yang berwarna hitam. (c) Kartu diamond yang berwarna merah. (d) Kartu kriting yang berwarna hitam.

Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi mungkin bergambar diamond.

b. Ruang Sampel

Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang sampel dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 1 :

Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S.

Contoh Soal 1 :

Tentukan ruang sampel percobaan berikut.

a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.

Penyelesaian:

Gambar 1.

Diagram pohon pelemparan 3 keping uang logam.
a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2. di atas dengan saksama. Dari diagram tersebut, jika tiga keping uang logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG, AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya (amati Tabel ) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4, GA5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}.

Tabel 1. Ruang sampel percobaan pelemparan dua keping uang logam dan sebuah dadu.

1 Dadu 1 2 3 4 5 6
2     Uang Logam

AA AA 1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6
AG AG 1 AG2 AG3 AG4 AG5 AG6
GA GA 1 GA2 GA3 GA4 GA5 GA6
GG GG1 GG2 GG3 GG4 GG5 GG6

c. Peluang

Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar sebanyak 23 kali sehingga 23/50 = 0,46 dinamakan frekuensi relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu ½ Bilangan tersebut dinamakan peluang dari kejadian muncul angka.

Gambar 2.

Hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah uang logam Rp 500,00.
Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu permukaan gambar dan permukaan angka. Peluang muncul permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah satu dari dua kemungkinan atau ½ sehingga peluang munculnya permukaan angka juga ½.

Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah, 1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yang berisi 8 bola tersebut adalah 1/8. Peluang terambilnya 1 bola merah adalah 3/8. Adapun peluang terambilnya 1 bola putih adalah 1/8, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah 4/8.

Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A adalah P(A) = 1/N.

Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A) = n/N.

Ingatlah :

Mata uang yang bentuknya simetris artinya tidak lebih berat ke arah gambar atau ke arah angka.

Informasi untuk Anda :

Pada 2000 tahun Sebelum Masehi, orang kaya dan penyihir menggunakan dadu sebagai permainan. Dadu yang digunakan berbentuk bangun bersisi empat. Bentuk dadu sekarang dikenal beberapa waktu kemudian. Dadu yang kali pertama digunakan dalam permainan tersebut terbuat dari tulang rusa, sapi, atau kerbau. (Sumber: http://www.DrMath.com)

Contoh Soal 2 :

Dalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan :

a. peluang muncul angka prima;

b. peluang muncul kelipatan 2;

Jawaban :

Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah :

{1, 2, 3, 4, 5, 6} → n (S) = 6.

a. Peluang muncul angka prima.

Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5} maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angka prima adalah :

P(prima) = n (P) / N (S) = 3/6 = ½

b. Peluang muncul kelipatan 2.

Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalah :

K = {2, 4, 6} maka n (K) = 3.

Dengan demikian, peluang muncul kelipatan 2 adalah :

P(K) = n(K)/N(S) = 3/6 = 1/2

d. Kisaran Nilai Peluang

Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan x adalah kejadian pada percobaan tersebut.

• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi.

• Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.

Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadian kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati nilai 1.

Contoh Soal 3 :

Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.

1. Ikan dapat hidup di darat.

2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.

3. Lumut tumbuh di daerah gurun.

4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi.

Penyelesaian :

1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.

2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.

3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.

4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga peluangnya di antara 0 dan 1, yaitu 1/13.

2. Frekuensi Harapan

Anda telah mempelajari bahwa peluang muncul permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah 1/12. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akan muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari 100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari 100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyata kan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan kata-kata Anda sendiri.

Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 2 :

Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.

fH = n × P(A)

Dalam hal ini,

n : banyak percobaan

P(A) : peluang terjadinya kejadian A

Contoh Soal 3 :

1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukan :

a. harapan muncul mata dadu 5,

b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3,

c. harapan muncul mata dadu prima ganjil,

d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan

e. harapan muncul mata dadu ganjil.

2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver?

3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih yang dihasilkan?

Pembahasan :

1.      

a.     fH (mata dadu 5) = 100 x (1/6) = 100/6 = 50/3

b.     fH (habis dibagi 3) = 100 x (2/6) = 100/3

c.      fH ( prima ganjil) = 100 x (2/6) = 100/3

d.     fH ( prima genap) = 100 x (1/6) = 100/6 = 50/3

e.     fH (ganjil) = 100 x (3/6) = 50

2. fH (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750
fH (orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.250

3. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah :

• bunga putih = (1/5) x 1.000 = 200 bunga

• bunga merah muda = (3/5) x 1.000 = 600 bunga

• bunga merah = (1/5) x 1.000 = 200 bunga

Praktikum 1 :

Sediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar Anda lemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali. Catatlah berapa kali muncul :

a. mata dadu bilangan 5,

b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,

c. mata dadu bilangan prima ganjil,

d. mata dadu bilangan prima genap, dan

e. mata dadu bilangan ganjil.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/04/rumus-peluang-statistika-matematika-contoh-soal-pengertian-peluang-suatu-kejadian-sederhana-frekuensi-harapan-ruang-sampel-jawaban-teori-definisi.html#ixzz2jdGRD6xe